Задание 25 — №352418
Геометрические задачи повышенной сложности
Условие
В треугольнике ABC на его медиане BM отмечена точка K так, что BK : KM = 3 : 7. Найдите отношение площади треугольника ABK к площади треугольника ABC.
В треугольнике ABC на его медиане BM отмечена точка K так, что BK : KM = 3 : 7. Найдите отношение площади треугольника ABK к площади треугольника ABC.
Решение
- 1
Так как $BM$ является медианой треугольника, по свойству медианы (каждая медиана делит треугольник на две равновеликие части) получаем: $S_{ABM} = S_{MBC} = \frac{1}{2}S_{ABC}$.
- 2
Из условия известно, что точка $K$ на медиане $BM$ делит её в отношении $BK:KM = 3:7$. Треугольники $ABK$ и $AKM$ имеют общую высоту, опущенную из вершины $A$ на прямую $BM$, поэтому их площади относятся как основания: $S_{ABK}:S_{AKM}=3:7$, то есть $S_{ABK}=\frac{3}{7}S_{AKM}$.
- 3
Выразим площадь треугольника $ABM$ через площади треугольников $ABK$ и $AKM$: $S_{ABM}=S_{ABK}+S_{AKM}$. Подставляя соотношение, получаем: $$S_{ABM}=\frac{3}{7}S_{AKM}+S_{AKM}=\frac{10}{7}S_{AKM}$$.
- 4
Так как $S_{ABC}=2S_{ABM}$, подставляем найденное значение: $$S_{ABC}=2\cdot\frac{10}{7}S_{AKM}=\frac{20}{7}S_{AKM}$$.
- 5
Найдем отношение площади треугольника $ABK$ к площади треугольника $ABC$: \[ \frac{S_{ABK}}{S_{ABC}}=\frac{\frac{3}{7}S_{AKM}}{\frac{20}{7}S_{AKM}}=\frac{3}{20} \] То есть, в десятичном виде это отношение равно $0,15$.
Ответ: 0,15