Задание 21 — №353102

Шаг 1. Обозначим собственную скорость баржи как $x$ (км/ч). Тогда скорость баржи по течению равна $x+5$, а против течения --- $x-5$.

Шаг 2. Найдём время, затраченное на каждый участок пути. По течению время равно $\frac{48}{x+5}$ часов, а против течения --- $\frac{36}{x-5}$ часов. Согласно условию, сумма этих времен равна 6 часам, то есть мы получаем уравнение: $$\frac{48}{x+5}+\frac{36}{x-5}=6.$$

Шаг 3. Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $$(x+5)(x-5)=x^2-25$$, чтобы избавиться от дробей. Получим: $$48(x-5)+36(x+5)=6(x^2-25).$$

Шаг 4. Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые: $$48x-240+36x+180=6x^2-150,$$ что даёт $$84x-60=6x^2-150.$$

Шаг 5. Перенесём все слагаемые в левую часть уравнения: $$6x^2-84x-90=0.$$ Разделим уравнение на 6, чтобы упростить его: $$x^2-14x-15=0.$$

Шаг 6. Решим квадратное уравнение $x^2-14x-15=0$.

Для этого найдём дискриминант по формуле $D=b^2-4ac$: подставляем $a=1$, $b=-14$, $c=-15$, и получаем $$D=(-14)^2-4\cdot1\cdot(-15)=196+60=256.$$ Вычисляем корни уравнения по формуле $x=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}$: $$x=\frac{14\pm\sqrt{256}}{2}=\frac{14\pm16}{2}.$$ Таким образом, получаем $x=15$ или $x=-1$. Отбрасываем отрицательное значение, так как скорость не может быть отрицательной.

Поэтому собственная скорость баржи равна $15$ км/ч.