Задание 21 — №311564

Пусть $v$ --- скорость яхты в неподвижной воде, где $v\gt2$, так как скорость течения равна $2\,\text{км/ч}$. Поскольку плот движется со скоростью $2\,\text{км/ч}$, время его движения вычисляем по формуле $t=\frac{S}{v}$. Подставляем: $t_{\text{плот}}=\frac{22}{2}=11\,\text{ч}$.

Яхта отправилась через $2\,\text{ч}$ после плота, поэтому её общее время движения равно $11-2=9\,\text{ч}$.

Яхта движется по маршруту из $A$ в $B$ и обратно. На пути из $A$ в $B$ её эффективная скорость составляет $v+2$ (так как движется по течению), а на обратном пути --- $v-2$ (проявляя действие против течения). Время движения по первому участку: $t_1=\frac{80}{v+2}$, а по второму: $t_2=\frac{80}{v-2}$, где используем формулу $t=\frac{S}{v}$.

Согласно условию, суммарное время движения яхты равно $9\,\text{ч}$. Записываем уравнение: $\frac{80}{v+2}+\frac{80}{v-2}=9$.

Умножаем уравнение на общий знаменатель $(v+2)(v-2)=v^2-4$ (метод приведения к общему знаменателю):
$80(v-2)+80(v+2)=9(v^2-4)$.
Выполняем вычисления: $80v-160+80v+160=160v$ и $9(v^2-4)=9v^2-36$. Получаем уравнение: $9v^2-160v-36=0$.

Решаем квадратное уравнение $9v^2-160v-36=0$ с помощью формулы $v=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$. Подставляем $a=9$, $b=-160$, $c=-36$:
$$v=\frac{160\pm\sqrt{160^2+4\cdot9\cdot36}}{18}=\frac{160\pm\sqrt{25600+1296}}{18}=\frac{160\pm\sqrt{26896}}{18}$$.
Так как $\sqrt{26896}=4\cdot41=164$, получаем:
$v=\frac{160\pm164}{18}$. Отбрасывая отрицательное решение (так как скорость не может быть отрицательной), находим $$v=\frac{160+164}{18}=\frac{324}{18}=18\,\text{км/ч}$$.