Задание 21 — №311621

Обозначим $x$ км/ч --- скорость лодки в неподвижной воде. По условию, так как скорость течения равна $3$ км/ч, то $x > 3$.

При движении по течению скорость лодки увеличивается на скорость течения, поэтому время по течению: $t_1=\frac{36}{x+3}$ ч. Аналогично, движение против течения даёт время: $t_2=\frac{36}{x-3}$ ч.

Суммарное время движения равно $5$ ч, следовательно, составляем уравнение: $$\frac{36}{x+3}+\frac{36}{x-3}=5.$$

Умножим обе части уравнения на $(x+3)(x-3)$ (так как $(x+3)(x-3)=x^2-9$):
$$36(x-3)+36(x+3)=5(x^2-9).$$

Раскроем скобки: $$36x-108+36x+108=72x.$$ Таким образом, уравнение становится: $$72x=5x^2-45.$$ Переносим все слагаемые в одну часть:
$$5x^2-72x-45=0.$$

Решим квадратное уравнение $5x^2-72x-45=0$ по формуле $x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$, где $a=5$, $b=-72$, $c=-45$. Подставляем значения:
$$x=\frac{72\pm\sqrt{72^2-4\cdot5\cdot(-45)}}{10}=\frac{72\pm\sqrt{5184+900}}{10}=\frac{72\pm\sqrt{6084}}{10}.$$
Так как $\sqrt{6084}=78$, получаем:
$$x=\frac{72+78}{10}=15 \quad \text{или} \quad x=\frac{72-78}{10}=-0.6.$$

Так как по условию $x > 3$, выбираем положительный корень. Таким образом, скорость лодки в неподвижной воде равна $15$ км/ч.