Задание 21 — №311659

Обозначим собственную скорость лодки как $x$ км/ч. Тогда при движении по течению скорость лодки равна $x+3$ км/ч, а против течения --- $x-3$ км/ч.

Пусть расстояние между пристанями равно $S$ км. Тогда время движения по течению составляет $\frac{S}{x+3}$, а время против течения --- $\frac{S}{x-3}$.

По определению средней скорости, которое гласит, что $$\text{средняя скорость} = \frac{\text{общая дистанция}}{\text{общее время}}$$, получаем уравнение: $$8=\frac{2S}{\frac{S}{x+3}+\frac{S}{x-3}}.$$

Сократим $S$ в уравнении: $$8=\frac{2}{\frac{1}{x+3}+\frac{1}{x-3}}.$$ Перевернув обе части, получим: $$\frac{1}{x+3}+\frac{1}{x-3}=\frac{1}{4}.$$

Складываем дроби: $$\frac{1}{x+3}+\frac{1}{x-3}=\frac{(x-3)+(x+3)}{(x+3)(x-3)}=\frac{2x}{x^2-9}.$$ Тогда уравнение становится: $$\frac{2x}{x^2-9}=\frac{1}{4}.$$ Умножим обе части на $(x^2-9)$ и получим: $$8x=x^2-9,$$ что переписывается как $x^2-8x-9=0$.

Решим квадратное уравнение $x^2-8x-9=0$. По формуле решения квадратного уравнения $x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ с подстановкой $a=1$, $b=-8$, $c=-9$ получаем: $$x=\frac{8\pm\sqrt{64+36}}{2}=\frac{8\pm10}{2}.$$ Таким образом, $x=9$ или $x=-1$. Отрицательное значение исключаем, так как скорость не может быть отрицательной. Значит, собственная скорость лодки равна $9$ км/ч.