Задание 21 — №311245

Шаг 1: Обозначим скорость течения реки (и плота) как $x$ км/ч. Скорость катера в стоячей воде равна $4x$ км/ч.

Шаг 2: Определим эффективные скорости катера. При движении против течения действует формула $V_{\text{против}} = 4x - x$, откуда получаем $4x - x = 3x$ км/ч, а при движении по течению по формуле $V_{\text{по}} = 4x + x$ находим $4x + x = 5x$ км/ч.

Шаг 3: Пусть плот до встречи с катером проплыл $S$ км. Тогда время до встречи равно $t = \frac{S}{x}$, так как по формуле $t = \frac{\text{расстояние}}{\text{скорость}}$. За это время катер, двигаясь против течения со скоростью $3x$, проходит расстояние $3x \cdot \frac{S}{x} = 3S$ км. Таким образом, расстояние между пунктами $A$ и $B$ равно $S + 3S = 4S$ км.

Шаг 4: После встречи катер мгновенно поворачивает и движется по течению с эффективной скоростью $5x$. Он должен преодолеть расстояние от точки встречи до пункта $B$, равное $3S$ км, за время $t' = \frac{3S}{5x}$. За это время плот, двигаясь со скоростью $x$, проплывает дополнительное расстояние $x \cdot \frac{3S}{5x} = \frac{3S}{5}$ км.

Шаг 5: Суммарное расстояние, пройденное плотом от пункта $A$, равно $S + \frac{3S}{5} = \frac{8S}{5}$ км. Тогда требуемая часть пути от $A$ до $B$ равна: $$\frac{\frac{8S}{5}}{4S} = \frac{8S}{20S} = \frac{2}{5}.$$