Задание 21 — №353294

Обозначим скорость теплохода в неподвижной воде через $x$ (км/ч). Тогда скорость по течению равна $x+4$ (км/ч), а против течения – $x-4$ (км/ч).

Найдем время прохождения каждого участка: время по течению $t_1=\frac{280}{x+4}$ (час), а против течения $t_2=\frac{280}{x-4}$ (час), так как расстояние равно $280$ (км).

Учтем, что общее время поездки равно $39$ (час), из которых $15$ (час) – время стоянки. Тогда время движения составит $39-15=24$ (час).

Составим уравнение, согласно которому сумма времен движения равна $24$ (час): $$\frac{280}{x+4}+\frac{280}{x-4}=24$$. Умножим обе части уравнения на $(x+4)(x-4)$ (метод приведения к общему знаменателю): $$280(x-4)+280(x+4)=24(x^2-16)$$.

Раскроем скобки: $$280x-1120+280x+1120=560x$$ и $$24(x^2-16)=24x^2-384$$.

Получаем уравнение: $$560x=24x^2-384$$. Приведем его к стандартному виду: $$24x^2-560x-384=0$$. Разделим на $8$: $$3x^2-70x-48=0$$. Применяя формулу для решения квадратного уравнения $x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ с $a=3$, $b=-70$, $c=-48$, находим дискриминант: $$D=(-70)^2-4\cdot3\cdot(-48)=4900+576=5476$$, откуда $$\sqrt{D}=74$$.

Тогда корни уравнения: $$x=\frac{70\pm74}{6}$$.

Получаем два значения: $$x=\frac{144}{6}=24$$ и $$x=\frac{-4}{6}=-\frac{2}{3}$$. Так как скорость не может быть отрицательной, выбираем $x=24$ (км/ч).