Задание 21 — №341534

Пусть скорость теплохода в неподвижной воде равна $\nu$ (км/ч). При движении по течению его скорость равна $\nu+3$, а против течения — $\nu-3$, так как скорость течения равна $3$ (км/ч).

Запишем время движения: время по течению $t_1=\frac{76}{\nu+3}$, а время против течения $t_2=\frac{76}{\nu-3}$. Учитывая, что стоянка длится $1$ час, суммарное время равно $t_1+t_2+1=20$. Отсюда получаем уравнение: $\frac{76}{\nu+3}+\frac{76}{\nu-3}=19$.

Умножим уравнение $\frac{76}{\nu+3}+\frac{76}{\nu-3}=19$ на общий знаменатель $$(\nu+3)(\nu-3)=\nu^2-9$$. Получим: $76(\nu-3)+76(\nu+3)=19(\nu^2-9)$.

Вычислим левую часть: $76(\nu-3)+76(\nu+3)=76\nu-228+76\nu+228=152\nu$. Таким образом, уравнение примет вид: $152\nu=19(\nu^2-9)$. Разделим обе части на $19$: $8\nu=\nu^2-9$, то есть $\nu^2-8\nu-9=0$.

Решим квадратное уравнение $\nu^2-8\nu-9=0$ по формуле: $\nu=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$, где $a=1$, $b=-8$, $c=-9$. Подставляем: $$\nu=\frac{8\pm\sqrt{64+36}}{2}=\frac{8\pm\sqrt{100}}{2}=\frac{8\pm10}{2}$$. Так как $\nu>3$, выбираем $\nu=\frac{8+10}{2}=9$ (км/ч).