Задание 21 — №353092

Обозначим скорость автомобиля через $v$ (в км/ч) и время, за которое мотоциклист едет от $A$ до $C$, через $t$ (в ч). Так как мотоциклист выехал через $0.6$ часа (36 минут) после автомобиля, автомобиль проходит путь от $A$ до $C$ за время $t+0.6$, а мотоциклист за время $t$. Запишем равенство расстояний: $$v(t+0.6)=75t.$$ Из этого получаем выражение для скорости автомобиля: $$v=\frac{75t}{t+0.6}.$$

После встречи с автомобилем в точке $C$ мотоциклист поворачивает и едет обратно в сторону $A$. Путь от $C$ до $A$ равен расстоянию $AC$, которое по предыдущему равенству равно $75t$. Тогда половина этого пути равна $$\frac{75t}{2}.$$ Время, необходимое мотоциклисту для прохождения этого отрезка, вычисляется по формуле: $$\frac{\frac{75t}{2}}{75}=\frac{t}{2}.$$

Таким образом, общее время мотоциклиста от выезда из $A$ до прохождения половины пути от $C$ к $A$ равно сумме времени движения от $A$ до $C$ и времени обратного пути: $$t+\frac{t}{2}=\frac{3t}{2}.$$ Поскольку автомобиль выехал на $0.6$ часа раньше, он преодолевает весь путь от $A$ до $B$ (120 км) за время $$\frac{3t}{2}+0.6.$$ Для автомобиля получаем уравнение: $$v\left(\frac{3t}{2}+0.6\right)=120.$$

Подставляем выражение для $v$, найденное на первом шаге, в уравнение: $$\frac{75t}{t+0.6}\left(\frac{3t}{2}+0.6\right)=120.$$ Умножим обе части на $(t+0.6)$: $$75t\left(\frac{3t}{2}+0.6\right)=120(t+0.6).$$ Выразим сумму внутри скобок как один дробь: $$\frac{3t}{2}+0.6=\frac{3t+1.2}{2}.$$ Тогда уравнение принимает вид: $$\frac{75t(3t+1.2)}{2}=120t+72.$$ Умножая обе части на $2$, получаем: $$75t(3t+1.2)=240t+144.$$ Раскроем скобки: $$225t^2+90t=240t+144.$$ Переносим все слагаемые влево: $$225t^2-150t-144=0,$$ что можно записать как $$112.5t^2-75t-72=0.$$

Решая полученное квадратное уравнение (находя положительный корень), получаем: $$t=1.2$$ ч. Тогда расстояние от $A$ до $C$ равно: $$AC=75t=75\cdot1.2=90$$ км.