Задание 21 — №311558

Запишем условие при встрече мотоциклиста и автомобиля в городе $C$. Мотоциклист, выехав из $A$ со скоростью $75$ $\text{км/ч}$, за время $t$ проезжает расстояние $AC=75t$. Автомобиль, выехавший на $\frac{3}{2}$ часа раньше со скоростью $\nu$, за время $t+\frac{3}{2}$ проезжает расстояние $AC=\nu\left(t+\frac{3}{2}\right)$. Приравнивая эти расстояния, получаем уравнение: $75t=\nu\left(t+\frac{3}{2}\right)$, откуда находим $\nu=\frac{75t}{t+\frac{3}{2}}=\frac{150t}{2t+3}$.

Мотоциклист, добравшись до $C$, возвращается в $A$, затрачивая такое же время $t$. Таким образом, его общее время пути составляет $2t$. Автомобиль, начав движение в момент $0$, проезжает весь путь от $A$ до $B$ (расстояние $375$ км) за время $2t+\frac{3}{2}$. Запишем для автомобиля уравнение пути: $\nu\left(2t+\frac{3}{2}\right)=375$.

Подставим найденное выражение для $\nu$ в уравнение для пути автомобиля: $$\frac{150t}{2t+3}\left(2t+\frac{3}{2}\right)=375.$$ Для удобства представим сумму $2t+\frac{3}{2}$ в виде $$\frac{4t+3}{2}.$$ Тогда уравнение примет вид: $$\frac{150t(4t+3)}{2(2t+3)}=375.$$ Домножим обе части на $2(2t+3)$ и разделим на $150$, получим: $t(4t+3)=5(2t+3)$.

Решим уравнение $t(4t+3)=5(2t+3)$. Раскроем скобки: $4t^2+3t=10t+15$, что приводит к квадратному уравнению $4t^2-7t-15=0$. Применяем формулу корней квадратного уравнения: $$t=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a},$$ где $a=4$, $b=-7$, $c=-15$. Находим дискриминант: $$\Delta=(-7)^2-4\cdot4\cdot(-15)=49+240=289.$$ Тогда $$t=\frac{7\pm17}{8}.$$ Поскольку $t>0$, выбираем $t=3$. Расстояние от $A$ до $C$ находится по формуле $AC=75t$, откуда $AC=75\cdot3=225$ км.