Задание 21 — №351543

Обозначим: пусть $S$ --- расстояние от $A$ до $B$, а $x$ --- скорость первого автомобилиста. Тогда скорость второго автомобилиста на второй половине пути равна $x+9$ км/ч.

Найдем время, затраченное каждым: для первого автомобилиста время движения $t_1=\frac{S}{x}$; для второго автомобилиста время на первой половине пути $t_{21}=\frac{S/2}{30}=\frac{S}{60}$ и на второй половине пути $t_{22}=\frac{S/2}{x+9}=\frac{S}{2(x+9)}$.

Так как оба автомобилиста прибыли одновременно, их общее время одинаково, то есть: $\frac{S}{x} = \frac{S}{60} + \frac{S}{2(x+9)}$. При делении на $S$ (так как $S>0$) получаем: $\frac{1}{x} = \frac{1}{60} + \frac{1}{2(x+9)}$.

Умножим полученное уравнение на $60\cdot2(x+9)x$, чтобы избавиться от дробей. Получаем: $120(x+9) = 2x(x+9) + 60x$. Раскрываем скобки: $120x + 1080 = 2x^2 + 18x + 60x$, откуда $120x+1080 = 2x^2+78x$.

Переносим все слагаемые в одну часть: $2x^2 + 78x - 120x - 1080 = 0$, то есть $2x^2 - 42x - 1080 = 0$. Разделим на $2$: $x^2 - 21x - 540 = 0$. Решая квадратное уравнение по формуле $x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ с $a=1$, $b=-21$, $c=-540$, находим дискриминант $\Delta=(-21)^2-4\cdot1\cdot(-540)=441+2160=2601$, при этом $\sqrt{2601}=51$.

Таким образом, $x=\frac{21+51}{2}=36$ или $x=\frac{21-51}{2}=-15$. Отрицательное значение отвергаем, так как скорость не может быть отрицательной.