Задание 15 — №351262

Обозначим длину катета, лежащего напротив угла $60^{\text{o}}$, как $a$. Второй острый угол равен $180^{\text{o}} - 90^{\text{o}} - 60^{\text{o}} = 30^{\text{o}}$. Площадь прямоугольного треугольника можно выразить через катеты $a$ и $b$ (где $b$ — катет, прилежащий к углу $60^{\text{o}}$) как:

$$S = \frac{1}{2} \times a \times b$$

Используя соотношение между катетами для угла $30^{\text{o}}$, имеем $b = a \times \tan(30^{\text{o}}) = a \times \frac{1}{\tan(60^{\text{o}})} = a \times \frac{1}{\frac{ oot{3}}{3}} = a \times \frac{3}{ oot{3}}$. Подставим это значение в формулу для площади:

$$S = \frac{1}{2} \times a \times \frac{3a}{ oot{3}} = \frac{3a^2}{2 oot{3}}$$

Зная, что площадь $S = \frac{5000 oot{3}}{3}$, приравняем обе формулы:

$$\frac{3a^2}{2 oot{3}} = \frac{5000 oot{3}}{3}$$

Умножим обе стороны на $2 oot{3}$ и упростим:

$$3a^2 = \frac{5000 oot{3} \times 2 oot{3}}{3} = \frac{10000 \times 3}{3} = 10000$$

Следовательно, $a^2 = \frac{10000}{3}$. Извлечем корень: $a = 100$.