Задание 15 — №350010

В равностороннем треугольнике медиана $BH$ является и биссектрисой, и высотой. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$, где $AH$ - половина стороны треугольника $AB$. По теореме Пифагора имеем:

$$AB^2 = AH^2 + BH^2$$

Поскольку $AH = \frac{AC}{2}$, то подставим это в уравнение:

$$AB^2 = \left(\frac{AB}{2}\right)^2 + BH^2$$

Упрощаем выражение:

$$AB^2 = \frac{AB^2}{4} + BH^2$$

Переносим $\frac{AB^2}{4}$ в левую часть:

$$AB^2 - \frac{AB^2}{4} = BH^2$$

Объединяем подобные слагаемые:

$$\frac{3}{4}AB^2 = BH^2$$

Теперь выразим $AB$:

$$AB^2 = \frac{4}{3}BH^2$$

Подставим $BH = 11\sqrt{3}$:

$$AB^2 = \frac{4}{3}(11\sqrt{3})^2 = \frac{4}{3} \cdot 363 = 484$$

Следовательно, $AB = \sqrt{484} = 22$.