Задание 24 — №349626

Пусть точки $P$ и $Q$ — центры окружностей, а отрезок $PQ$ соединяет их. Проведём внутреннюю общую касательную, которая пересекает отрезок $PQ$ в точке $K$. По условию, эта касательная делит отрезок $PQ$ в отношении $a : b$, то есть $$\frac{PK}{QK} = \frac{a}{b}.$$

Обозначим точки касания касательной с окружностями: пусть $M$ — точка касания с окружностью, центром которой является $P$, и $N$ — точка касания с окружностью, центром которой является $Q$. По свойству касательной, радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной, то есть $$PM \perp KM$$ и $$QN \perp KN.$$

Рассмотрим прямоугольные треугольники $PKM$ и $QKN$. В каждом из них есть прямой угол: $$\angle PMK = 90^\circ$$ и $$\angle QNK = 90^\circ.$$ Кроме того, углы $$\angle PKM$$ и $$\angle NKQ$$ равны, так как они являются вертикальными. По признаку подобия треугольников (равенство двух углов) получаем, что треугольники $PKM$ и $QKN$ подобны.

Из подобия треугольников следует, что соответствующие стороны относятся как $$\frac{PM}{QN} = \frac{PK}{QK}.$$ Подставляя известное соотношение $$\frac{PK}{QK} = \frac{a}{b},$$ получаем, что $$\frac{PM}{QN} = \frac{a}{b}.$$ Поскольку $PM$ и $QN$ — радиусы окружностей, а диаметр равен удвоенному радиусу, то их диаметры относятся как $$\frac{2PM}{2QN} = \frac{PM}{QN} = \frac{a}{b}.$$ Таким образом, доказано, что диаметры этих окружностей относятся как $a : b$.