Задание 24 — №340297

Шаг 1. Рассмотрим окружности с центрами в точках $I$ и $J$, которые пересекаются в точках $A$ и $B$. Так как отрезки $AJ$ и $BJ$ являются радиусами окружности с центром $J$, получаем, что $AJ = BJ$, то есть треугольник $ABJ$ равнобедренный.

Шаг 2. В равнобедренном треугольнике по свойству медианы (теорема: в равнобедренном треугольнике медиана, проведённая из вершины, равной основанию, является высотой) проведём медиану $JM$, где точка $M$ является серединой отрезка $AB$. Таким образом, подставляя в свойство, получаем: $JM \perp AB$.

Шаг 3. Аналогично, поскольку $AI$ и $BI$ --- радиусы окружности с центром $I$, выполняется равенство $AI = BI$, и треугольник $ABI$ тоже равнобедренный. Проведём медиану $IM$, где $M$ --- середина $AB$. По тому же свойству медианы, получаем, что $IM \perp AB$.

Шаг 4. Поскольку прямые $JM$ и $IM$ обе перпендикулярны прямой $AB$, по определению перпендикулярности они параллельны: $JM \parallel IM$.

Шаг 5. Так как у отрезка $AB$ существует только одна середина, точки, через которые проходят медианы $JM$ и $IM$, совпадают (то есть точка $M$ общая для обеих медиан), что приводит к совпадению прямых, проведённых через $J$ и $I$. Это означает, что точки $I$, $M$ и $J$ лежат на одной прямой, которая, как доказали на шагах 2 и 3, перпендикулярна прямой $AB$. Таким образом, $AB \perp IJ$.