Задание 24 — №340324

Пусть $O_1$ и $O_2$ --- центры окружностей, а точка $K$ --- точка пересечения внутренней общей касательной с отрезком $O_1O_2$. По условию касательная делит отрезок $O_1O_2$ в отношении $\frac{O_1K}{O_2K} = \frac{m}{n}$.

Обозначим точки касания касательной с окружностями: пусть окружность с центром $O_1$ касается касательной в точке $M$, а окружность с центром $O_2$ --- в точке $N$. По свойству касательной, проведённый через точку касания радиус перпендикулярен касательной, то есть $O_1M \perp KM$ и $O_2N \perp KN$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $O_1KM$ (с прямым углом в точке $M$) и $O_2KN$ (с прямым углом в точке $N$). Углы при точке $K$ в этих треугольниках равны (как вертикальные углы). По признаку подобия треугольников (два угла равны) получаем, что $\triangle O_1KM \sim \triangle O_2KN$.

Из подобия треугольников следует равенство отношений соответствующих сторон: $$\frac{O_1M}{O_2N} = \frac{O_1K}{O_2K} = \frac{m}{n}.$$ Здесь $O_1M$ и $O_2N$ являются радиусами соответствующих окружностей.

Умножая эти отношения на $2$, получаем, что диаметр первой окружности $2\cdot O_1M$ и диаметр второй окружности $2\cdot O_2N$ относятся как $$\frac{2\cdot O_1M}{2\cdot O_2N} = \frac{m}{n}.$$ Таким образом, диаметры окружностей относятся как $m : n$.