Задание 24 — №341422
Геометрические задачи на доказательство
Условие
Окружности с центрами в точках I и J пересекаются в точках A и B, причем точки I и J лежат по одну сторону от прямой AB. Докажите, что отрезки AB и IJ перпендикулярны.
Окружности с центрами в точках I и J пересекаются в точках A и B, причем точки I и J лежат по одну сторону от прямой AB. Докажите, что отрезки AB и IJ перпендикулярны.
Решение
- 1
Так как точки $A$ и $B$ принадлежат окружности с центром $I$, по определению окружности имеем $IA = IB$. По свойству серединного перпендикуляра, если точка равноудалена от концов отрезка, она лежит на его серединном перпендикуляре. Следовательно, точка $I$ принадлежит серединному перпендикуляру к отрезку $AB$.
- 2
Аналогично, так как точки $A$ и $B$ принадлежат окружности с центром $J$, получаем $JA = JB$, что означает, что точка $J$ также находится на серединном перпендикуляре к отрезку $AB$.
- 3
Так как обе точки $I$ и $J$ лежат на одном серединном перпендикуляре, прямая, проходящая через них, совпадает с этим серединным перпендикуляром. По определению серединного перпендикуляра он пересекает отрезок $AB$ под прямым углом, то есть $AB \perp IJ$.
Ответ: отрезки $AB$ и $IJ$ перпендикулярны