Задание 24 — №316360

По теореме об вписанном угле (каждый вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается), если дуги $AB$ и $CD$ равны, то углы, опирающиеся на них, тоже равны. В частности, угол $\angle ADB$, опирающийся на дугу $AB$, равен углу $\angle ACB$, а угол $\angle CBD$, опирающийся на дугу $CD$, равен углу $\angle DAC$.

По условию точка $O$ является серединой хорды $AC$, откуда по определению середины следует, что $AO = OC$.

Рассмотрим треугольники $\triangle AOD$ и $\triangle COB$.

Заметим, что хорды $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$, и вертикальные углы при пересечении равны, то есть $\angle AOD = \angle COB$. Кроме того, используя равенство вписанных углов из шага 1, получаем равенство углов $\angle ADO$ и $\angle CBO$.

Таким образом, по признаку равенства двух углов (признак AA) треугольники подобны с коэффициентом подобия $\frac{AO}{OC}$.

Так как $AO = OC$, коэффициент подобия равен $1$, то есть треугольники $\triangle AOD$ и $\triangle COB$ равны. Из равенства соответствующих сторон этих равных треугольников следует, что $BO = OD$, что и требовалось доказать.