Задание 24 — №311241
Геометрические задачи на доказательство
Условие
В окружности с центром О проведены две хорды АВ и CD так, что центральные углы АОВ и СОD равны. На эти хорды опущены перпендикуляры ОК и OL. Докажите, что ОК и OL равны.
В окружности с центром О проведены две хорды АВ и CD так, что центральные углы АОВ и СОD равны. На эти хорды опущены перпендикуляры ОК и OL. Докажите, что ОК и OL равны.
Решение
- 1
Так как $AO$, $BO$, $CO$ и $DO$ являются радиусами окружности, получаем, что $AO = BO = CO = DO$.
- 2
Рассмотрим треугольники $\triangle AOB$ и $\triangle COD$. В первом треугольнике $AO$ и $BO$ равны, во втором треугольнике $CO$ и $DO$ равны, а также по условию $\angle AOB = \angle COD$.
- 3
Применяем критерий равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними (SAS): подставляем $AO = CO$, $BO = DO$ и $\angle AOB = \angle COD$, откуда следует, что $\triangle AOB \cong \triangle COD$.
- 4
В равных треугольниках соответствующие элементы равны, поэтому высоты, опущенные из точки $O$ на хорды, равны: $OK = OL$.
Ответ: OK = OL