Задание 24 — №341511

Пусть $ABCD$ — трапеция с основаниями $AD$ и $BC$. Обозначим середины оснований: точка $M$ на отрезке $AD$ и точка $N$ на отрезке $BC$. Тогда по определению середины имеем: $AM=MD=a$ и $BN=NC=b$. Пусть высота трапеции равна $h$.

Рассмотрим отрезок $MN$, который делит трапецию на два четырехугольника: $ABNM$ и $MNCD$. Заметим, что можно разложить площадь каждого из этих четырехугольников на сумму площадей двух треугольников. Для четырехугольника $ABNM$ это треугольники $ABM$ и $BNM$, а для $MNCD$ — треугольники $MCD$ и $NCM$.

Применим формулу площади треугольника $$S=\frac{1}{2}\cdot \text{основание}\cdot \text{высота}$$. Так, для треугольников $ABM$ и $MCD$ основания равны: $AM=MD=a$, а высоты, опущенные на эти основания, равны (так как они являются частями высоты трапеции).

Поэтому: $$S_{ABM}=\frac{1}{2}\cdot a\cdot h\quad\text{и}\quad S_{MCD}=\frac{1}{2}\cdot a\cdot h.$$ Аналогичным образом для треугольников $BNM$ и $NCM$, где $BN=NC=b$, получаем: $$S_{BNM}=\frac{1}{2}\cdot b\cdot h\quad\text{и}\quad S_{NCM}=\frac{1}{2}\cdot b\cdot h.$$

Таким образом, площадь четырехугольника $ABNM$ равна: $$S_{ABNM}=S_{ABM}+S_{BNM}=\frac{1}{2}ah+\frac{1}{2}bh=\frac{h}{2}(a+b),$$ а площадь четырехугольника $MNCD$ равна: $$S_{MNCD}=S_{MCD}+S_{NCM}=\frac{1}{2}ah+\frac{1}{2}bh=\frac{h}{2}(a+b).$$ Так как $S_{ABNM}=S_{MNCD}$, отрезок $MN$ делит трапецию на две равные по площади части.