Задание 24 — №155
Геометрические задачи на доказательство
Условие
В параллелограмме АВСD точки E, F, K и М лежат на его сторонах, как показано на рисунке, причем АЕ = CK, BF = DM. Докажите, что EFKM — параллелограмм.
В параллелограмме ABCD точки E, F, K и M лежат на его сторонах, как показано на рисунке, причем AE = CK, BF = DM. Докажите, что EFKM — параллелограмм.
Решение
- 1
Рассмотрим параллелограмм $ABCD$, у которого по свойству параллелограмма $AB = CD$ и $AD = BC$. На стороне $AB$ отмечена точка $E$, а на стороне $CD$ — точка $K$. Выразим отрезки: $BE = AB - AE$ и $KD = CD - CK$. По условию имеем $AE = CK$, поэтому $BE = KD$.
- 2
Аналогично, на сторонах $BC$ и $AD$ расположены точки $F$ и $M$. Отрезки определяются как: $CF = BC - BF$ и $AM = AD - DM$. Так как $BF = DM$ и $BC = AD$, получаем $CF = AM$.
- 3
Рассмотрим треугольники $EBF$ и $KDM$. В них $BF = DM$ и $BE = KD$. Кроме того, так как в параллелограмме противолежащие углы равны, угол между отрезками $BE$ и $BF$ равен углу между отрезками $KD$ и $DM$. По признаку равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними (признак $SAS$) заключаем, что треугольники $EBF$ и $KDM$ равны.
- 4
Аналогичным образом, сравнивая треугольники $FCK$ и $MAE$ по признаку $SAS$, устанавливаем их равенство. Из равенства соответствующих сторон этих треугольников следует, что $EF = MK$ и $EM = FK$.
- 5
Так как в четырехугольнике $EFKM$ установлено равенство противоположных сторон ($EF = MK$ и $EM = FK$), по определению параллелограмма этот четырехугольник является параллелограммом.
Ответ: EFKM — параллелограмм