Задание 24 — №77
Геометрические задачи на доказательство
Условие
В параллелограмме АВСD проведены перпендикуляры ВЕ и DF к диагонали АС (см. рис.). Докажите, что ВFDЕ — параллелограмм.
В параллелограмме АВСD проведены перпендикуляры ВЕ и DF к диагонали АС (см. рис.). Докажите, что ВFDЕ — параллелограмм.
Решение
- 1
1. Построим в параллелограмме $ABCD$ диагональ $AC$ и проведем из точек $B$ и $D$ перпендикуляры к прямой $AC$, получив точки $E$ и $F$. Тогда треугольники $ABE$ и $CDF$ являются прямоугольными, так как $BE \perp AC$ и $DF \perp AC$.
- 2
2. По свойству параллелограмма, противоположные стороны равны, то есть $AB = CD$. Кроме того, так как $AB \parallel CD$ и $AC$ является секущей, углы $\angle BAE$ и $\angle DCF$ являются накрест лежащими, отсюда $\angle BAE = \angle DCF$.
- 3
3. Применяя теорему о равенстве прямоугольных треугольников по гипотенузе и прилежащему острому углу (Гипотенуза-угол), заключаем, что треугольники $ABE$ и $CDF$ равны. Из равенства треугольников следует, что соответствующие стороны равны, то есть $BE = DF$.
- 4
4. Так как линии $BE$ и $DF$ обе перпендикулярны прямой $AC$, они параллельны: $BE \parallel DF$. Отсюда в четырехугольнике $BFDE$ одна пара противоположных сторон равна и параллельна, что по определению означает, что $BFDE$ является параллелограммом.
Ответ: BFDE — параллелограмм