Задание 24 — №311603
Геометрические задачи на доказательство
Условие
В параллелограмме проведены биссектрисы противоположных углов. Докажите, что отрезки биссектрис, заключенные внутри параллелограмма, равны.
В параллелограмме проведены биссектрисы противоположных углов. Докажите, что отрезки биссектрис, заключенные внутри параллелограмма, равны.
Решение
- 1
Рассмотрим параллелограмм $ABCD$. По свойству параллелограмма его противоположные стороны равны, откуда получаем, что $AB = CD$.
- 2
Пусть $AM$ и $CK$ — отрезки биссектрис углов $\angle A$ и $\angle C$ соответственно. По определению биссектрисы угол делится пополам, то есть $\angle BAM = \angle MAB$ и $\angle KCD = \angle DCK$. Так как в параллелограмме $ABCD$ равны углы $\angle A$ и $\angle C$, получаем, что $\angle BAM = \angle KCD$.
- 3
В силу равенства противоположных сторон параллелограмма, а также по свойству равенства соответствующих углов, получаем, что угол $\angle ABM$ в треугольнике $ABM$ равен углу $\angle KDC$ в треугольнике $CKD$.
- 4
Объединяя полученные результаты: $AB = CD$, $\angle BAM = \angle KCD$ и $\angle ABM = \angle KDC$, по признаку равенства треугольников (ASA) заключаем, что $\triangle ABM = \triangle CKD$. Отсюда соответствующие стороны равны, то есть $AM = CK$.
Ответ: AM=CK