Задание 24 — №341344
Геометрические задачи на доказательство
Условие
Биссектрисы углов C и D трапеции ABCD пересекаются в точке P, лежащей на стороне AB. Докажите, что точка P равноудалена от прямых BC, CD и AD.
Биссектрисы углов C и D трапеции ABCD пересекаются в точке P, лежащей на стороне AB. Докажите, что точка P равноудалена от прямых BC, CD и AD.
Решение
- 1
Шаг 1. Применяем \textbf{свойство биссектрисы угла}: если точка лежит на биссектрисе угла, то она равноудалена от его сторон. Так, так как точка $P$ находится на биссектрисе угла $D$, подставляем стороны $AD$ и $CD$ и получаем: $d(P,AD)=d(P,CD)$.
- 2
Шаг 2. Аналогичным образом, так как точка $P$ лежит на биссектрисе угла $C$, по тому же \textbf{свойству биссектрисы} получаем равенство расстояний до сторон $BC$ и $CD$, то есть: $d(P,BC)=d(P,CD)$.
- 3
Шаг 3. Из равенств $d(P,AD)=d(P,CD)$ и $d(P,BC)=d(P,CD)$ следует, что расстояния от точки $P$ до прямых $AD$, $CD$ и $BC$ равны. Таким образом, точка $P$ равноудалена от всех трех указанных прямых.
Ответ: точка P равноудалена от всех трех указанных прямых