Задание 24 — №340935

Так как $L$ — середина стороны $BC$, получаем, что $BL = LC$. По условию, $BC = 2 \cdot CD$, откуда $LC = \frac{1}{2}\cdot BC = CD$.

Проведем через точку $L$ прямую, параллельную стороне $CD$, и обозначим точку пересечения этой прямой с продолжением стороны $AD$ как $F$. Тогда по построению $LF \parallel CD$.

Из равенств $BL = LC$ и $LC = CD$ следует, что $BL = LC = CD$. В четырёхугольнике $CDFL$ при построении с условием $LF \parallel CD$ получаем, что все стороны равны, то есть по определению он является ромбом.

Свойство ромба гласит, что его диагональ делит угол, из которого она выходит, на две равные части. Подставляя: в ромбе $CDFL$, диагональ $DL$ делит угол $CDA$ на два равных угла: $\angle CDL = \angle LDA$.

Альтернативное доказательство: в треугольнике $LCD$, так как $LC = CD$, по признаку равнобедренного треугольника получаем $\angle CLD = \angle CDL$. Поскольку прямая $LF$ параллельна $CD$, накрест лежащие углы равны, т.е. $\angle CLD = \angle LDA$. Следовательно, $\angle LDA = \angle CDL$, что и означает, что $DL$ является биссектрисой угла $CDA$.