Задание 24 — №340854
Геометрические задачи на доказательство
Условие
В треугольнике ABC с тупым углом ACB проведены высоты A$A_1$ и B$B_1$. Докажите, что треугольники $A_1$ C$B_1$ и ACB подобны.
В треугольнике ABC с тупым углом ACB проведены высоты AA_1 и BB_1. Докажите, что треугольники A_1 CB_1 и ACB подобны.
Решение
- 1
Поскольку угол $\angle ACB$ тупой, то основания высот $AA_1$ и $BB_1$ находятся на продолжениях сторон $BC$ и $AC$ соответственно.
- 2
Проведём в треугольнике $ABC$ высоты $AA_1$ и $BB_1$. Получаем, что углы $\angle AA_1B = 90^\circ$ и $\angle AB_1B = 90^\circ$. По теореме Талеса (прямой угол, вписанный в полуокружность) треугольники $AA_1B$ и $AB_1B$ вписаны в окружность с диаметром $AB$, то есть все вершины четырёхугольника $AA_1B_1B$ лежат на одной окружности.
- 3
Так как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны (свойство вписанных углов), получаем равенства: $$\angle AB_1A_1 = \angle ABA_1$$ и $$\angle BA_1B_1 = \angle BAB_1$$. Эти равенства показывают, что соответствующие углы в треугольниках $A_1CB_1$ и $ACB$ равны.
- 4
По признаку подобия треугольников (при равенстве двух углов) делаем вывод, что треугольники $A_1CB_1$ и $ACB$ подобны.
Ответ: треугольники $A_1CB_1$ и $ACB$ подобны