Задание 24 — №340387

Так как $ABCD$ — параллелограмм, по определению его стороны параллельны, в частности, $BC \parallel AD$.

Линия $AE$ является биссектрисой угла $A$, то есть по определению биссектрисы получаем: $\angle BAE = \angle EAD$. При пересечении секущей $AE$ с параллельными прямыми $BC$ и $AD$ по свойству накрест лежащих углов имеем: $\angle BEA = \angle EAD$. Отсюда равенство $\angle BEA = \angle BAE$ означает, что треугольник $ABE$ равнобедренный, и его стороны при основании равны, то есть $AB = BE$.

Аналогичным образом, биссектриса угла $D$ — прямая $DE$ — делит угол $D$ на две равные части: $\angle ADE = \angle EDC$. Так как в параллелограмме $ABCD$ стороны $AB$ и $CD$ параллельны ($AB \parallel CD$), при пересечении секущей $DE$ получаем равенство накрест лежащих углов: $\angle ADE = \angle ECD$.

Подставляя, получаем: $\angle EDC = \angle ECD$, что доказывает равнобедренность треугольника $CED$ и равенство его боковых сторон: $EC = CD$.

В параллелограмме $ABCD$ противоположные стороны равны, то есть $AB = CD$. Из шага 2 имеем $AB = BE$, а из шага 3 — $CD = EC$. Следовательно, $BE = EC$, что означает, что точка $E$ делит сторону $BC$ на две равные части, то есть $E$ — середина $BC$.