Задание 24 — №340104
Геометрические задачи на доказательство
Условие
Через точку O пересечения диагоналей параллелограмма ABCD проведена прямая, пересекающая стороны AB и CD в точках P и T соответственно. Докажите, что $BP = DT$.
Через точку O пересечения диагоналей параллелограмма ABCD проведена прямая, пересекающая стороны AB и CD в точках P и T соответственно. Докажите, что BP = DT.
Решение
- 1
Рассмотрим параллелограмм $ABCD$. По теореме, что диагонали параллелограмма делятся пополам, точка $O$ пересечения диагоналей удовлетворяет соотношениям $BO = OD$ и $AO = OC$. Это означает, что $O$ является центром симметрии параллелограмма.
- 2
Проведем через точку $O$ прямую, которая пересекает сторону $AB$ в точке $P$ и сторону $CD$ в точке $T$. Из свойства центральной симметрии следует, что точки $B$ и $D$ являются симметричными относительно $O$, а аналогичным образом — точки $P$ и $T$ симметричны относительно $O$.
- 3
Из определения центральной симметрии знаем, что симметричные отрезки равны. Тогда отрезок $BP$, соединяющий симметричную точку $B$ с точкой $P$, равен отрезку $DT$, соединяющему симметричную точку $D$ с точкой $T$: $BP = DT$.
Ответ: BP = DT