Задание 24 — №340055

Так как $AD \parallel BC$, проведем перпендикуляры из точек $B$ и $C$ на прямую, содержащую основание $AD$. Обозначим точки пересечения этих перпендикуляров с $AD$ как $H$ и $K$. Тогда, по свойству параллельных прямых, расстояния $BH$ и $CK$ равны, то есть $BH=CK$.

Применим формулу площади треугольника $$S=\frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$$ (формула площади треугольника). Выберем сторону $AD$ в качестве основания для треугольника $ABD$. Тогда его площадь рассчитывается как $S_{ABD}=\frac{1}{2} \cdot AD \cdot BH$.

Аналогично, для треугольника $CAD$, если принять сторону $AD$ в качестве основания, получим $S_{CAD}=\frac{1}{2} \cdot AD \cdot CK$.

Так как $BH=CK$, из предыдущих равенств следует, что $S_{ABD}=S_{CAD}$.

Диагонали трапеции пересекаются в точке $O$, вследствие чего треугольники $ABD$ и $CAD$ делятся на части. Выразим площади треугольников $AOB$ и $COD$ как: $S_{AOB}=S_{ABD}-S_{AOD}$ и $S_{COD}=S_{CAD}-S_{AOD}$. Подставив равенство $S_{ABD}=S_{CAD}$, получаем $S_{AOB}=S_{COD}$.