Задание 24 — №339625
Геометрические задачи на доказательство
Условие
В выпуклом четырехугольнике ABCD углы BCA и BDA равны. Докажите, что углы ABD и ACD также равны.
В выпуклом четырехугольнике ABCD углы BCA и BDA равны. Докажите, что углы ABD и ACD также равны.
Решение
- 1
Шаг 1: Из условия $\angle BCA = \angle BDA$ следует, что отрезок $AB$ виден из точек $C$ и $D$ под одним и тем же углом.
- 2
Шаг 2: Применим теорему: если отрезок $AB$ виден из точек $C$ и $D$, лежащих по одну сторону от прямой $AB$, под одинаковым углом, то точки $A$, $B$, $C$, $D$ лежат на одной окружности. Подставляем: равенство углов $\angle BCA = \angle BDA$ гарантирует, что все четыре точки являются соподчинёнными на одной окружности.
- 3
Шаг 3: Так как точки $A$, $B$, $C$, $D$ лежат на одной окружности, углы $\angle ABD$ и $\angle ACD$ являются вписанными углами, опирающимися на одну и ту же дугу $AD$. По теореме о вписанном угле получаем: вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны.
- 4
Шаг 4: Следовательно, $\angle ABD = \angle ACD$, что и требовалось доказать.
Ответ: $$\angle ABD = \angle ACD$$