Задание 24 — №339609
Геометрические задачи на доказательство
Условие
Биссектрисы углов B и C трапеции ABCD пересекаются в точке O, лежащей на стороне AD. Докажите, что точка O равноудалена от прямых AB, BC и CD.
Биссектрисы углов B и C трапеции ABCD пересекаются в точке O, лежащей на стороне AD. Докажите, что точка O равноудалена от прямых AB, BC и CD.
Решение
- 1
Так как точка $O$ лежит на биссектрисе угла $\angle ABC$, по свойству биссектрисы (теорема: если точка принадлежит биссектрисе угла, то расстояния от неё до сторон этого угла равны) получаем: $d(O, AB)=d(O, BC)$.
- 2
Аналогичным образом, поскольку точка $O$ лежит на биссектрисе угла $\angle BCD$, по тому же свойству получаем: $d(O, BC)=d(O, CD)$.
- 3
Из равенств $d(O, AB)=d(O, BC)$ и $d(O, BC)=d(O, CD)$ следует, что $d(O, AB)=d(O, BC)=d(O, CD)$, то есть точка $O$ равноудалена от прямых $AB$, $BC$ и $CD$.
Ответ: точка O равноудалена от прямых AB, BC и CD