Задание 25 — №340359

Пусть основания трапеции: $BC = a$ и $AD = 3a$, так как они относятся как $1:3$.

Найдем отрезок $EF$, проходящий через точку пересечения диагоналей и параллельный основаниям. Он равен гармоническому среднему оснований. По формуле гармонического среднего $EF = \frac{2\cdot BC\cdot AD}{BC+AD}$ подставляем: $$EF = \frac{2\cdot a\cdot 3a}{a+3a} = \frac{6a^2}{4a} = \frac{3a}{2}$$.

Так как треугольники $BOC$ и $AOD$ подобны, высоты, проведенные к основаниям $BC$ и $AD$, относятся как сами основания, то есть $\frac{h_{BOC}}{h_{AOD}} = \frac{1}{3}$.

Вспомним, что площадь трапеции находится по формуле $S = \frac{B_1 + B_2}{2}\cdot h$.

Для нижней трапеции $EBCF$ с основаниями $BC = a$ и $EF = \frac{3a}{2}$ имеем: $$S_{EBCF} = \frac{a + \frac{3a}{2}}{2}\cdot h_{BOC}.$$ Аналогично, для верхней трапеции $AEFD$ с основаниями $EF = \frac{3a}{2}$ и $AD = 3a$ получаем: $$S_{AEFD} = \frac{\frac{3a}{2} + 3a}{2}\cdot h_{AOD}.$$ Вычислим сумму оснований: $a+\frac{3a}{2} = \frac{5a}{2}$ и $\frac{3a}{2}+3a = \frac{9a}{2}$.

Таким образом, отношение площадей будет равно: $$\frac{S_{EBCF}}{S_{AEFD}} = \frac{\frac{5a}{2}}{\frac{9a}{2}}\cdot \frac{h_{BOC}}{h_{AOD}} = \frac{5}{9}\cdot \frac{1}{3} = \frac{5}{27}.$$

Таким образом, прямая, проведённая через точку пересечения диагоналей, делит площадь трапеции в отношении $5:27$.