Задание 25 — №340054

Так как в четырехугольнике можно вписать окружность, если выполняется условие $AB+CD=BC+AD$, а в равнобедренной трапеции $AB=CD$, то получаем $2AB=BC+AD$. Периметр трапеции равен $P=AB+BC+CD+AD=2AB+BC+AD$. При условии $P=120$ имеем $4AB=120$, откуда $AB=\frac{120}{4}=30$, а также $BC+AD=2AB=60$.

Площадь трапеции находится по формуле $S=\frac{BC+AD}{2}\cdot TP$. Подставляя $S=540$ и $BC+AD=60$, получаем $540=\frac{60}{2}\cdot TP=30\cdot TP$, откуда $TP=\frac{540}{30}=18$.

В прямоугольном треугольнике $CHD$, где $CD=30$ и $CH=TP=18$, по теореме Пифагора (формула: $HD=\sqrt{CD^2-CH^2}$) находим $HD=\sqrt{30^2-18^2}=\sqrt{900-324}=\sqrt{576}=24$.

Так как треугольники $ABK$ и $CHD$ прямоугольные и по условию имеют равные гипотенузы $AB=CD=30$ и равные катеты $BK=CH=18$, они равны, откуда $AK=HD=24$.

Заметим, что прямые $BK$ и $CH$ перпендикулярны прямой $AD$, поэтому отрезки $BK$ и $CH$ параллельны, и четырехугольник $BCHK$ является параллелограммом, откуда $BC=KH$. Выразим сторону $AD$ как сумму отрезков: $AD=AK+KH+HD=24+BC+24=48+BC$. При этом $AD+BC=60$. Составим систему уравнений: $\begin{cases} AD+BC=60 \\ AD-BC=48 \end{cases}$. Решая систему, получаем $AD=54$ и $BC=6$.

Рассмотрим треугольники $AOD$ и $BOC$. По признакам подобия (накрест лежащие и вертикальные углы равны) находим отношение: $\frac{BC}{AD}=\frac{OT}{OP}$, то есть $\frac{6}{54}=\frac{1}{9}$, откуда $OP=9OT$. Так как высота $TP=OT+OP=OT+9OT=10OT=18$, получаем $OT=\frac{18}{10}=1,8$.