Задание 25 — №311698
Геометрические задачи повышенной сложности
Условие
Прямая, параллельная основаниям AD и BC трапеции ABCD, проходит через точку пересечения диагоналей трапеции и пересекает ее боковые стороны AB и CD в точках E и $F$ соответственно. Найдите длину отрезка $EF$, если $AD = 10 \text{ см},$ $BC = 15 \text{ см.}$
Прямая, параллельная основаниям AD и BC трапеции ABCD, проходит через точку пересечения диагоналей трапеции и пересекает ее боковые стороны AB и CD в точках E и F соответственно. Найдите длину отрезка EF, если AD = 10 см, BC = 15 см.
Решение
- 1
Шаг 1: Рассмотрим треугольники $BOC$ и $AOD$.
Заметим, что они имеют равные углы: $\angle BOC = \angle DOA$ (вертикальные углы) и $\angle CBO = \angle ADO$ (внутренние накрест лежащие углы при условии $AD \parallel BC$). По теореме о подобии треугольников (признак $AA$) получаем соотношение: $$\frac{BO}{DO} = \frac{CO}{AO} = \frac{BC}{AD}.$$ Подставляем данные: $$\frac{BC}{AD} = \frac{15}{10} = 1,5,$$ откуда $BO = 1,5DO$ и $CO = 1,5AO$. - 2
Шаг 2: Рассмотрим треугольники $EBO$ и $ABD$. Они подобны, так как имеют общий угол $B$ и равны соответствующие углы ($\angle BEO = \angle BAD$) благодаря тому, что прямая $EO$ параллельна основанию $AD$. По признаку подобия (теорема $AA$) составляем пропорцию: $$\frac{EO}{AD} = \frac{BO}{BD}.$$ Заметим, что $BD = BO + DO$. Подставляем $BO = 1,5DO$: $$\frac{BO}{BD} = \frac{1,5DO}{1,5DO + DO} = \frac{1,5DO}{2,5DO} = \frac{3}{5}.$$ Следовательно, $$EO = \frac{3}{5}AD = \frac{3}{5} \cdot 10 = 6\text{ см}$$.
- 3
Шаг 3: Аналогичным образом, рассматривая подобие треугольников $ACD$ и $COF$ (общий угол и равенство соответствующих углов при условии $EF \parallel AD$), получаем: $$\frac{FO}{AD} = \frac{CO}{CD} = \frac{3}{5}.$$ Отсюда находим $$FO = \frac{3}{5}AD = \frac{3}{5} \cdot 10 = 6\text{ см}$$.
- 4
Шаг 4: Отрезок $EF$ состоит из отрезков $EO$ и $FO$. Складывая найденные длины, получаем: $$EF = EO + FO = 6 + 6 = 12\text{ см}.$$
Ответ: 12 см