Задание 25 — №311926

Шаг 1: Из условия, боковые стороны равнобедренной трапеции $ABCD$ равны меньшему основанию $BC$, то есть $AB=BC=CD$. Кроме того, в равнобедренной трапеции диагонали равны ($AC=BD$), что означает равенство треугольников $ABC$ и $DCB$. Поэтому высоты (перпендикуляры) $BH$ и $CE$ являются медианами, и на диагоналях получаем: $AH=HC$ и $BE=ED$.

Шаг 2: Отрезок $HE$, соединяющий середины диагоналей, является средней линией трапеции. По теореме о средней линии получаем, что $HE=\frac{AD-BC}{2}$. Так как $HE$, $AD$ и $BC$ параллельны, четырехугольник $BCEH$ является трапецией с основаниями $BC$ и $HE$.

Шаг 3: Обозначим высоту трапеции $ABCD$ через $AN$, а высоту трапеции $BCEH$ через $HM$. Рассмотрим прямоугольные треугольники $ANC$ и $HMC$, которые подобны (общий угол при $C$). По признаку подобия имеем: $\frac{HM}{AN}=\frac{HC}{AC}$. Так как $HC=\frac{AC}{2}$, находим: $HM=AN\cdot \frac{1}{2}=\frac{AN}{2}$.

Шаг 4: Выразим площадь трапеции $ABCD$ с помощью формулы площади трапеции $$S_1=\frac{1}{2}\cdot \text{высота}\cdot (\text{основания})$$. Подставляя, получаем: $S_1=\frac{1}{2}\cdot AN\cdot (AD+BC)=36$.

Шаг 5: Аналогично, для трапеции $BCEH$ площадь вычисляется по формуле $S=\frac{1}{2}\cdot HM\cdot (BC+HE)$. Подставляем найденное значение $HM=\frac{AN}{2}$ и $HE=\frac{AD-BC}{2}$:

$$S=\frac{1}{2}\cdot \frac{AN}{2}\cdot \left(BC+\frac{AD-BC}{2}\right)=\frac{AN}{4}\cdot \frac{AD+BC}{2}=\frac{AN\cdot (AD+BC)}{8}.$$

Шаг 6: Заметим, что площадь исходной трапеции равна $S_1=\frac{AN\cdot (AD+BC)}{2}$, а площадь трапеции $BCEH$ равна $S=\frac{AN\cdot (AD+BC)}{8}$. Тогда:

$S=\frac{1}{4}S_1=\frac{36}{4}=9$.

Итоговый ответ: $9$.