Задание 25 — №339373

Рассмотрим параллелограмм с диагоналями $AC$ и $BD$, где $AC = 28d$ и $BD = d$, а вершины ромба $EFGH$ лежат на сторонах параллелограмма. Стороны ромба параллельны диагоналям, и обозначим их длину через $a$.

Так как $EF \parallel AC$, треугольники $ABC$ и $EBF$ подобны (по признаку равенства углов). Из подобия получаем соотношение $$\frac{EF}{AC} = \frac{BE}{AB},$$ то есть, подставив $EF = a$ и $AC = 28d$, имеем $$\frac{a}{28d} = \frac{BE}{AB}.$$

Аналогично, поскольку $EH \parallel BD$, треугольники $ABD$ и $AEH$ подобны, откуда $$\frac{EH}{BD} = \frac{AE}{AB}.$$ Подставляя $EH = a$ и $BD = d$, получаем $$\frac{a}{d} = \frac{AE}{AB}.$$

Складывая полученные равенства, замечаем, что $$\frac{a}{28d} + \frac{a}{d} = \frac{AE+BE}{AB} = 1.$$ Приводим левую часть к общему знаменателю: $$\frac{a+28a}{28d} = \frac{29a}{28d} = 1.$$ Отсюда следует равенство $$29a = 28d,$$ которое можно записать в виде $$a = \frac{28d}{29}.$$

Площадь параллелограмма можно выразить через его диагонали и угол между ними по формуле $$S_{\text{параллел}} = \frac{AC \cdot BD \cdot \sin\theta}{2} = \frac{28d \cdot d \cdot \sin\theta}{2} = 14d^2 \sin\theta.$$ При анализе подобия видно, что отношение площадей ромба и параллелограмма определяется отношением квадратов соответствующих характерных длин, а именно $$\frac{S_{\text{ромб}}}{S_{\text{параллел}}} = \left(\frac{a}{d}\right)^2.$$ Подставляя найденное значение $a = \frac{28d}{29}$, получаем: $$\frac{S_{\text{ромб}}}{S_{\text{параллел}}} = \left(\frac{28}{29}\right)^2 = \frac{784}{841}.$$