Задание 25 — №339398

Построим точку $K$, которая является точкой пересечения биссектрисы угла $\angle ADC$ с прямой $BC$. Поскольку $AD \parallel BC$, по свойству накрест лежащих углов получаем, что $\angle ADK = \angle CKD$. А так как $DK$ является биссектрисой угла $\angle ADC$, то $\angle ADK = \angle CDK$.

Отсюда $\angle CDK = \angle CKD$, и по свойству равнобедренного треугольника треугольник $CKD$ имеет $KC = CD = 25$.

Вычисляем длину отрезка $BK$. Так как на прямой $BC$ имеем $KC = 25$ и $BC = 5$, то $BK = KC - BC = 25 - 5 = 20$.

По условию биссектриса проходит через середину отрезка $AB$. Обозначим эту точку как $M$, тогда $AM = MB$. Рассмотрим треугольники $KMB$ и $AMD$: вертикальные углы $\angle KMB$ и $\angle AMD$ равны, а углы $\angle KBM$ и $\angle MAD$ равны как накрест лежащие при параллельных прямых. По признаку равенства треугольников получаем, что $AD = KB = 20$.

Проведем через точку $C$ прямую $CP$, параллельную $AB$. Тогда, так как $AD \parallel BC$, четырехугольник $ABCP$ является параллелограммом, откуда по свойствам параллелограмма $AP = BC = 5$ и $CP = AB = 20$.

Найдем отрезок $PD$. Так как точка $P$ лежит на прямой $AD$, то $PD = AD - AP = 20 - 5 = 15$.

Рассмотрим треугольник $CPD$. \textbf{Применим теорему Пифагора}:
$$CP^2 + PD^2 = 20^2 + 15^2 = 400 + 225 = 625,$$
а также
$$CD^2 = 25^2 = 625.$$
Так как $$CP^2 + PD^2 = CD^2,$$ по обратной теореме Пифагора треугольник $CPD$ является прямоугольным, и отрезок $CP = 20$ является высотой трапеции.

Следовательно, площадь трапеции находится по формуле
$$S = \frac{AD+BC}{2} \cdot CP = \frac{20+5}{2} \cdot 20 = 250.$$