Задание 25 — №324718
Геометрические задачи повышенной сложности
Условие
Прямая, параллельная основаниям трапеции ABCD, пересекает ее боковые стороны AB и CD в точках E и F соответственно. Найдите длину отрезка EF, если AD = 42, BC = 14, $\frac{CF}{DF}$ = $\frac{4}{3}$.
Прямая, параллельная основаниям трапеции ABCD, пересекает ее боковые стороны AB и CD в точках E и F соответственно. Найдите длину отрезка EF, если AD = 42, BC = 14, (CF)/(DF) = (4)/(3).
Решение
- 1
Рассмотрим треanglets $KFC$ и $ACD$. Прямая, проходящая через точки $E$ и $F$ и параллельная основаниям, образует равные углы: $\angle CAD = \angle CKF$ (свойство соответственных углов при параллельных прямых), а угол $C$ общий для обоих треугольников. По признаку подобия треугольников (признак равенства углов) получаем: $\triangle KFC \sim \triangle ACD$. Запишем пропорцию: $$\frac{KF}{AD} = \frac{CF}{CF+DF}.$$ По условию, $\frac{CF}{DF} = \frac{4}{3}$, откуда $\frac{CF}{CF+DF} = \frac{4}{4+3} = \frac{4}{7}$.
Подставляя $AD = 42$, имеем: $$\frac{KF}{42} = \frac{4}{7},$$ откуда $KF = 42 \cdot \frac{4}{7} = 24$. - 2
Рассмотрим треугольники $EKA$ и $ABC$. Прямая $EF$, параллельная основаниям, обеспечивает равенство соответствующих углов: угол $A$ общий, а другие углы равны.
Поэтому по признаку подобия получаем: $\triangle EKA \sim \triangle ABC$. Запишем пропорцию: $$\frac{EK}{BC} = \frac{DF}{CF+DF}.$$ Из соотношения $\frac{CF}{DF} = \frac{4}{3}$ следует, что $\frac{DF}{CF+DF} = \frac{3}{7}$.
Подставляя $BC = 14$, получаем: $$\frac{EK}{14} = \frac{3}{7},$$ откуда $EK = 14 \cdot \frac{3}{7} = 6$. - 3
Найдем длину отрезка $EF$ как сумму отрезков $EK$ и $KF$: $$EF = EK + KF = 6 + 24 = 30.$$ Таким образом, итоговый ответ: $30$.
Ответ: 30