Задание 25 — №339675

Шаг 1: Проведем через точку $D$ прямую, параллельную диагонали $AC$. По свойству равных дуг (если дуги равны, то и стягивающие их хорды равны) получаем, что $AL=CD=16$.

Шаг 2: Так как хорды $AC$ и проведенная через $D$ прямая пересекаются, вертикальные углы равны. По свойству вертикальных углов имеем: $\angle AKB=\angle CKD=60^\circ$. А благодаря тому, что проведенная прямая параллельна $AC$, по теореме о накрест лежащих углах получаем $\angle LDK=\angle CKD=60^\circ$.

Шаг 3: Построим вписанный в окружность четырехугольник $ABDL$. По свойству вписанного четырёхугольника (сумма противолежащих углов равна $180^\circ$) получаем: $$\angle LAB=180^\circ-\angle LDK=180^\circ-60^\circ=120^\circ$$.

Шаг 4: Рассмотрим треугольник $ABL$. Применяем теорему косинусов, которая гласит: $$BL=\sqrt{AL^2+AB^2-2\cdot AL\cdot AB\cdot \cos(\angle LAB)}.$$ Подставляем $AL=16$, $AB=25$ и $\cos120^\circ=-\frac{1}{2}$: $$BL=\sqrt{16^2+25^2-2\cdot16\cdot25\cdot\Bigl(-\frac{1}{2}\Bigr)}=\sqrt{256+625+400}=\sqrt{1281}.$$

Шаг 5: Найдем радиус описанной окружности треугольника $ABL$ по теореме синусов: $$\frac{BL}{\sin(\angle BAL)}=2R \quad \Longrightarrow \quad R=\frac{BL}{2\sin(\angle BAL)}.$$ Заметим, что $\sin120^\circ=\sin60^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}$. Тогда подставляем: $$R=\frac{\sqrt{1281}}{2\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{\sqrt{1281}}{\sqrt{3}}=\sqrt{\frac{1281}{3}}=\sqrt{427}.$$