Задание 25 — №353236

Введем обозначения: пусть сторона ромба равна $a$, а длина короткой диагонали параллелограмма равна $d$. По условию отношение диагоналей параллелограмма равно $56$, поэтому обозначим вторую диагональ как $56d$ (то есть, положим $AC=d$ и $BD=56d$).

Так как стороны ромба параллельны диагоналям параллелограмма, то $HG\parallel AC$ и $HE\parallel BD$. Из этого вытекает, что построенный четырёхугольник (обозначим его как $HKOL$) является параллелограммои, а значит, соответствующие углы, например, $\angle KHL$ и $\angle KOL$, равны.

Рассмотрим треугольники $ABC$ и $EBF$. Заметим, что $\angle EBF$ является общим для этих треугольников. Кроме того, поскольку прямые параллельны, углы $BEF$ и $BAC$ равны, а также углы $BFE$ и $BCA$ равны. По критерию подобия треугольников (две пары равных углов) получаем, что треугольники подобны, откуда следует соотношение:
$$\frac{EF}{AC}=\frac{BE}{AB}.$$

Аналогичным образом, рассмотрим треугольники $ABD$ и $AEH$. Благодаря параллельности прямых получаем их подобие и соотношение:
$$\frac{HE}{BD}=\frac{AE}{AB}.$$

Сложим полученные уравнения:
$$\frac{EF}{AC}+\frac{HE}{BD}=\frac{AE+BE}{AB}.$$
Так как $AE+BE=AB$, правая часть равна $1$. По построению сторона ромба равна $a$, то есть $EF=a$ и $HE=a$. Подставляя также $AC=d$ и $BD=56d$, получаем:
$$\frac{a}{d}+\frac{a}{56d}=\frac{57a}{56d}=1.$$
Отсюда находим:
$$57a=56d \quad\Longrightarrow\quad a=\frac{56d}{57}.$$