Задание 16 — №340337

Обозначим углы в треугольнике $ABC$. Так как касательные $AC$ и $BC$ равны, треугольник $ABC$ является равнобедренным, следовательно, углы $\triangle ABC$ равны: $\triangle CAB = \triangle CBA$. Обозначим угол $\triangle ACB = x$. Тогда:

$$\triangle CAB + \triangle CBA + \triangle ACB = 180^\text{o}$$

Подставим значения: $54^\text{o} + 54^\text{o} + x = 180^\text{o}$. Решим уравнение:

$$108^\text{o} + x = 180^\text{o} \Rightarrow x = 180^\text{o} - 108^\text{o} = 72^\text{o}$$

Угол между касательной и хордой равен половине дуги, которую он заключает. Дуга $AB$ равна:

$$\text{дуга } AB = 2 \times \triangle CAB = 2 \times 54^\text{o} = 108^\text{o}$$

Угол $AOB$ — центральный, поэтому он равен дуге, на которую опирается, следовательно, $AOB = 108^\text{o}$. Рассмотрим треугольник $AOB$. Он равнобедренный, так как $OA = OB$. Следовательно, углы $\triangle OAB$ и $\triangle ABO$ равны:

$$\triangle OAB = \triangle ABO = \frac{180^\text{o} - 108^\text{o}}{2} = \frac{72^\text{o}}{2} = 36^\text{o}$$