Задание 16 — №339892
Окружность, круг и их элементы
Условие
Отрезки AB и CD являются хордами окружности. Найдите расстояние от центра окружности до хорды CD, если AB = 18, CD = 24, а расстояние от центра окружности до хорды AB равно 12.
Отрезки AB и CD являются хордами окружности. Найдите расстояние от центра окружности до хорды CD, если AB = 18, CD = 24, а расстояние от центра окружности до хорды AB равно 12.
Решение
- 1
Сначала найдем длину отрезка $AH$, который равен половине длины хорды $AB$. Используем формулу для нахождения половины длины хорды:
$$AH = \frac{AB}{2} = \frac{18}{2} = 9$$
- 2
Теперь найдем радиус окружности $OB$ с помощью теоремы Пифагора в прямоугольном треугольнике $AOH$, где $OH = 12$ и $AH = 9$:
$$OB = \sqrt{OH^2 + AH^2} = \sqrt{12^2 + 9^2} = \sqrt{144 + 81} = \sqrt{225} = 15$$
- 3
Теперь найдем длину отрезка $CK$, который равен половине длины хорды $CD$:
$$CK = \frac{CD}{2} = \frac{24}{2} = 12$$
- 4
Найдём расстояние от центра окружности до хорды $CD$ (обозначим его $OK$) с помощью теоремы Пифагора в прямоугольном треугольнике $OKD$, где $OD = OB = 15$ и $KD = CK = 12$:
$$OK = \sqrt{OB^2 - CK^2} = \sqrt{15^2 - 12^2} = \sqrt{225 - 144} = \sqrt{81} = 9$$
Ответ: 9