Задание 16 — №339623
Окружность, круг и их элементы
Условие
Отрезки AB и CD являются хордами окружности. Найдите длину хорды CD, если AB = 20, а расстояния от центра окружности до хорд AB и CD равны соответственно 24 и 10.
Отрезки AB и CD являются хордами окружности. Найдите длину хорды CD, если AB = 20, а расстояния от центра окружности до хорд AB и CD равны соответственно 24 и 10.
Решение
- 1
Рассмотрим треугольники $AOH$ и $BOH$, которые являются прямоугольными. Стороны $AO$ и $OB$ равны, так как это радиусы окружности. Обозначим длину отрезка $AH$ как $x$. Тогда $BH = AB - AH = 20 - x$. Поскольку треугольники $AOH$ и $BOH$ равны, то $AH = BH = 10$.
- 2
Теперь найдем радиус окружности $OB$ по теореме Пифагора: $$OB = \sqrt{OH^2 + BH^2} = \sqrt{24^2 + 10^2} = \sqrt{576 + 100} = \sqrt{676} = 26.$$
- 3
Рассмотрим треугольник $OKD$, который также является прямоугольным. Найдем длину отрезка $KD$ по теореме Пифагора: $$KD = \sqrt{OD^2 - OK^2} = \sqrt{OB^2 - OK^2} = \sqrt{26^2 - 10^2} = \sqrt{676 - 100} = \sqrt{576} = 24.$$
- 4
Длина хорды $CD$ равна $CD = 2 \times KD = 2 \times 24 = 48.$
Ответ: 48