Задание 16 — №339502
Окружность, круг и их элементы
Условие
Радиус окружности с центром в точке O равен 85, длина хорды AB равна 80 (см. рис.). Найдите расстояние от хорды AB до параллельной ей касательной k.
Радиус окружности с центром в точке O равен 85, длина хорды AB равна 80 (см. рис.). Найдите расстояние от хорды AB до параллельной ей касательной k.
Решение
- 1
Проведем радиусы $OA$ и $OB$ к концам хорды $AB$. Обозначим точку $H$ — середину хорды $AB$. Треугольник $AOB$ является равнобедренным, и медиана $OH$ также является высотой. Таким образом, треугольник $AOH$ — прямоугольный.
- 2
По теореме Пифагора для треугольника $AOH$ запишем:
$$OH = \sqrt{AO^2 - AH^2}$$
- 3
Подставим известные значения: радиус $AO = 85$ см и половина хорды $AH = \frac{AB}{2} = \frac{80}{2} = 40$ см:
$$OH = \sqrt{85^2 - 40^2} = \sqrt{7225 - 1600} = \sqrt{5625} = 75$$
- 4
Теперь найдем расстояние от хорды $AB$ до параллельной ей касательной $k$: расстояние равно $OH + OA = 75 + 85 = 160$.
Ответ: 160