Задание 15 — №339544
Треугольники и их элементы
Условие
В треугольнике ABC BM — медиана и BH — высота. Известно, что AC = 216, HC = 54 и ∠ACB = 40°. Найдите угол AMB. Ответ дайте в градусах.
В треугольнике ABC BM — медиана и BH — высота. Известно, что AC = 216, HC = 54 и ∠ ACB = 40^(°). Найдите угол AMB. Ответ дайте в градусах.
Решение
- 1
Поскольку $BM$ — медиана, то по определению медианы $AM = MC = \frac{AC}{2} = \frac{216}{2} = 108$.
- 2
Найдем $MH$: $MH = MC - HC = 108 - 54 = 54$.
- 3
Рассмотрим треугольники $BHM$ и $BHC$. Они прямоугольные, $MH = HC$, $BH$ — общая сторона, следовательно, треугольники равны по признаку $\text{Прямоугольный треугольник}$ (катет, гипотенуза, катет). Отсюда $BC = BM$, то есть треугольник $MBC$ — равнобедренный, значит, $\angle BMH = \angle BCH = 40^{\circ}$.
- 4
Углы $AMB$ и $BMC$ — смежные, вместе составляют развернутый угол, поэтому $\angle AMB = 180^{\circ} - \angle BMC = 180^{\circ} - 40^{\circ} = 140^{\circ}$.
Ответ: 140