Задание 23 — №339400

Так как отрезки $AB$ и $DC$ лежат на параллельных прямых, по теореме о накрест лежащих углах получаем, что углы $\angle DCM$ и $\angle BAM$ равны. Кроме того, по свойству вертикальных углов углы $\angle DMC$ и $\angle BMA$ равны. Отсюда по признаку подобия треугольников (по двум углам) треугольники $DMC$ и $BMA$ подобны.

Из подобия треугольников следует, что соответствующие стороны пропорциональны. Запишем пропорцию: $\frac{AM}{MC} = \frac{AB}{DC}$. Подставляем данные: $\frac{AM}{MC} = \frac{16}{24} = \frac{2}{3}$.

Так как точка $M$ делит отрезок $AC$ на отрезки $AM$ и $MC$, то $AC = AM + MC$. Подставляем найденное соотношение: $AM = \frac{2}{3}MC$, откуда $AC = \frac{2}{3}MC + MC = \frac{5}{3}MC$.

При заданном $AC = 25$ получаем уравнение: $\frac{5}{3}MC = 25$. Умножая обе части уравнения на $\frac{3}{5}$, находим: $MC = 25 \cdot \frac{3}{5} = 15$.