Задание 23 — №311240
Геометрические задачи на вычисление
Условие
Окружность проходит через вершины А и С треугольника АВС и пересекает его стороны АВ и ВС в точках К и Е соответственно. Отрезки АЕ и СК перпендикулярны. Найдите ∠ КСВ , если ∠ АВС = 20°.
Окружность проходит через вершины А и С треугольника АВС и пересекает его стороны АВ и ВС в точках К и Е соответственно. Отрезки АЕ и СК перпендикулярны. Найдите ∠ КСВ , если ∠ АВС = 20°.
Решение
- 1
Так как окружность проходит через вершины $A$ и $C$, по теореме вписанных углов (если две вписанные углы опираются на одну дугу, то они равны) получаем: $\angle AKC = \angle AEC$, так как оба опираются на дугу $AC$.
- 2
По условию отрезки $AE$ и $CK$ перпендикулярны, то есть $AE \perp CK$. Это означает, что углы, прилежащие к отрезкам, дополнены до прямого угла, и, поскольку $\angle AKC = \angle AEC$, смежные с ними углы равны, отсюда $\angle BKC = \angle BEA$.
- 3
Рассмотрим свойства вписанного четырехугольника. Известно, что сумма углов любого четырехугольника равна $360°$. Так как один из углов равен $90°$ (из перпендикулярности $AE$ и $CK$), а угол при вершине $B$ равен $20°$, то оставшиеся два равных угла (по предыдущему пункту) равны $$\angle BKC = \frac{360° - 90° - 20°}{2} = \frac{250°}{2} = 125°.$$
- 4
В треугольнике $BKC$ сумма углов равна $180°$. Запишем: $$\angle KCB = 180° - \angle BKC - \angle KBC.$$ Поскольку точка $K$ лежит на стороне $AB$, угол $KBC$ равен углу $ABC = 20°$. Подставляем: $$\angle KCB = 180° - 125° - 20° = 35°.$$
Ответ: 35°