Задание 23 — №311700

В треугольнике $ABC$ проведем медиану $BM$, исходящую из вершины $B$. По условию, медиана образует с отрезками $AB$ и $BC$ углы: $\angle ABM = 90^\circ$ и $\angle CBM = 30^\circ$.

Так как $BM$ является медианой, он делит треугольник на два равновеликих по площади: $S_{ABM} = S_{CBM}$.

Воспользуемся формулой площади треугольника: $$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin(\gamma),$$ где $a$ и $b$ — стороны, а $\gamma$ — угол между ними. Тогда для треугольника $ABM$ имеем: $$S_{ABM} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BM \cdot \sin(90^\circ),$$ а для треугольника $CBM$: $$S_{CBM} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot BM \cdot \sin(30^\circ).$$

Подставляем значения синусов: $\sin(90^\circ) = 1$ и $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$. Получаем: $$S_{ABM} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BM$$ и $$S_{CBM} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot BM \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4} \cdot BC \cdot BM.$$

Приравнивая площади, получаем уравнение: $$\frac{1}{2} \cdot AB \cdot BM = \frac{1}{4} \cdot BC \cdot BM.$$ Сократим на $\frac{1}{2}$ и на $BM$ (так как $BM \neq 0$), и получим: $$AB = \frac{1}{2} \cdot BC.$$

Отсюда отношение сторон $\frac{AB}{BC} = \frac{1}{2}$, что записывается в виде $1:2$.