Задание 23 — №311706

Пусть высота треугольника $ABC$, обозначенная как $BH$, опущена на основание $AC$, которое делится точкой $H$ на отрезки: $AH=8$ и $CH=9$. Пусть вторая высота, проведенная из вершины $A$, обозначается как $AK$ и пересекает $BH$ в точке $M$. При этом отрезки $BM$ и $MH$ равны, то есть $BM=MH=x$. Тогда получаем: $BH=BM+MH=2x$.

Заметим, что треугольники $AHM$ и $BHC$ являются прямоугольными (прямой угол находится в точке $H$). Кроме того, углы при точке $M$ в треугольнике $AHM$ и соответствующий угол в треугольнике $BHC$ равны (вертикальные углы). По признаку подобия прямоугольных треугольников, их стороны пропорциональны. Применяя теорему о пропорциональности сторон подобных треугольников, запишем пропорцию:
$$\frac{MH}{AH}=\frac{CH}{BH}.$$
Подставляем известные значения: $$\frac{x}{8}=\frac{9}{2x}.$$

Решим полученную пропорцию, перемножая крест-накрест. Получаем уравнение:
$$x \cdot 2x = 8 \cdot 9,$$
то есть, $$2x^2 = 72.$$
Разделим обе части уравнения на $2$ и получим: $$x^2 = 36.$$

Из уравнения $$x^2 = 36$$ следует, что $x = 6$ (так как длина не может быть отрицательной). Тогда высота $BH=2x=12$.
Ответ: $12$.