Задание 23 — №311714

Шаг 1: Обозначим точку $K$ как середину стороны $BC$. Тогда по определению средней точки имеем $BK = KC = \frac{BC}{2}$.

Шаг 2: Так как медианы треугольника пересекаются в точке $M$, то на медиане, проведённой из вершины $A$ к стороне $BC$ (отрезок $AK$), точка $M$ делит отрезок в отношении $AM : MK = 2:1$, откуда $MK = \frac{AK}{3}$. Продлим отрезок $MK$ за точку $K$ на его же длину, получая точку $L$, то есть $KL = MK = \frac{AK}{3}$.

Шаг 3: Заметим, что в четырёхугольнике $BLCM$ стороны $BK$ и $KC$ равны (так как $K$ --- середина $BC$), а отрезки $MK$ и $KL$ равны по построению. Это позволяет сделать вывод, что $BLCM$ является параллелограммом, в котором противоположные углы равны, то есть $\angle BLC = \angle BMC = 133^\circ$.

Шаг 4: Вычислим сумму углов $\angle BLC$ и $\angle BAC$. Получаем $133^\circ + 47^\circ = 180^\circ$. По признаку вписанности (если сумма двух противоположных углов четырёхугольника равна $180^\circ$, он вписанный) делаем вывод, что четырёхугольник $ABLC$ --- вписанный.

Шаг 5: Применим для вписанного четырёхугольника теорему о произведении отрезков (теорема о хордах): если две хорды пересекаются, то произведение длин отрезков одной хорды равно произведению длин отрезков другой хорды. Запишем равенство: $$AK \cdot KL = BK \cdot KC.$$ Подставляем $KL = \frac{AK}{3}$ и $BK = KC = \frac{BC}{2}$, получаем: $$AK \cdot \frac{AK}{3} = \frac{BC}{2} \cdot \frac{BC}{2}.$$ Отсюда $\frac{AK^2}{3} = \frac{BC^2}{4}$, то есть $AK^2 = \frac{3 \cdot BC^2}{4}$.

При подстановке $BC = 4\sqrt{3}$ находим: $$AK = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 4\sqrt{3} = 6.$$